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Topología

Orígenes e historia de la topología from PTA MEN Colombia

Análisis Complejo

Rigor del Análisis

RIGOR DEL ANÁLISIS

Muchos historiadores de la matemática afirman que el rigor en matemáticas nació con Augustin-Louis Cauchy. Todo un revolucionario, Cauchy trató de establecer una base rigurosa para el análisis matemático. Un buen ejemplo fue su demostración del teorema del valor intermedio, que afirma que toda función real f(x) continua en un intervalo [a,b] asume cada valor posible entre f(a) y f(b) en ese intervalo. Parece obvio gracias a la idea intuitiva de continuidad y de hecho hasta Cauchy nadie pensó que fuera necesario demostrarlo, pero hoy en día todos los estudiantes de matemáticas se pelean con su demostración rigurosa (aunque sin saberlo, como homenaje en memoria de Cauchy). Por cierto, Cauchy enseñó la demostración de este teorema por primera vez en el curso que impartió en la École Royale Polytechnique en 1816. Su libro de texto de 1821, admirado por más de una generación de matemáticos, presenta dos demostraciones diferentes; la más famosa, la que todos los estudiantes de matemáticas aprenden, fue relegada a un apéndice. Nos lo recuerda Michael J. Barany, “Stuck in the Middle: Cauchy’s Intermediate Value Theorem and the History of Analytic Rigor,” Notices of the AMS 60: 1334-1338, Nov. 2013.

Cauchy fue un profesor impopular tanto entre los estudiantes como entre sus compañeros de facultad. Sus clases eran muy densas y difíciles de seguir, muchas veces prolongaba la clase más allá de su horario oficial y además realizaba continuas revisiones del temario. Para Cauchy las matemáticas del siglo XVIII eran una disciplina que había perdido el norte. Todo un siglo de innovaciones matemáticas maravillosas que habían sido logradas a costa del rigor. Matemáticos como Euler manejaban series que no eran convergentes y expresiones formales sin sentido que producían conclusiones absurdas. No estaban claros conceptos tan básicos como el de infinito, el de límite, los números imaginarios y muchos más. Cauchy admiraba la formulación axiomática de la geometría realizada por Euclides. El álgebra presentaba un estado similar, pero era considerada por los matemáticos del siglo XVIII como una herramienta, versátil, pero de poca utilidad a la hora de resolver problemas prácticos. Por el contrario, el análisis era muy útil en todo tipo de problemas prácticos, pero carecía de un formulación rigurosa. Cauchy quería que el status de la geometría y del álgebra fuera extendido al análisis. Por ello decidió revisar todo el análisis desde el punto de vista de la geometría y apoyado por el álgebra como herramienta.

Por supuesto, el “Curso de Análisis” de Cauchy, como suele ocurrir con todo trabajo pionero, carece de rigor en muchos aspectos. Por ejemplo, Cauchy asume que todas las funciones continuas son diferenciables. Sin embargo, lo importante del proyecto de reforma del análisis iniciado por Cauchy, que trata de llevar el rigor al análisis de la mano de la geometría y del álgebra, es que inició un camino hacia el rigor cuya culminación fue el motor de gran parte de la matemática de todo el siglo XIX, con la honrosa excepción del genial Henri Poincaré que vio en el rigor un corsé del que había que deshacerse.

El cénit del rigor en las matemáticas llegó en el siglo XX con Nicolas Bourbaki, el nombre colectivo de un grupo de matemáticos franceses que, en los años 1930, se pusieron a revisar todos los fundamentos de las matemáticas con una exigencia absoluta en el rigor tratando de combatir la corriente que había nacido con Poincaré. Matemáticos como Jean Dieudonné, André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, y otros antiguos alumnos de la Escuela Normal Superior de París recogieron el guante de Cauchy e impusieron a toda la matemática el concepto de rigor matemático como definición de la labor del matemático.

Ecuaciones en Derivadas Parciales

2) ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES from edvinogo

Integración Doble

Integración Múltiple

INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de lasuma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.




Las integrales se pueden calcular sobre regiones diferentes de los intervalos. En general, una integral sobre un conjunto E de una función f se escribe:

Aquí x no hace falta que sea necesariamente un número real, sino que puede ser cualquier otra cantidad apropiada, por ejemplo, unvector de R3. El teorema de Fubini demuestra que estas integrales pueden reescribirse como una integral iterada. En otras palabras, la integral se puede calcular a base de integrar las coordenadas una por una.

De la misma manera que la integral definida de una función positiva representa el área de la región encerrada entre la gráfica de la función y el eje x, la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región comprendida entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio. (El mismo volumen puede obtenerse a través de una integral triple— la integral de la función de tres variables — de la función constante f(x, y, z) = 1 sobre la región mencionada antes entre la superficie y el plano, lo mismo se puede hacer con una integral doble para calcular una superficie.) Si el número de variables es mayor, entonces la integral representa un hipervolumen, el volumen de un sólido de más de tres dimensiones que no se puede representar gráficamente.

Matemática en el Renacimiento from Alejandra Agreman

Topología

Fundamentos de la Geometría

Geometría Proyectiva

¿Qué es la Geometría Proyectiva?

Es una rama de la Geometría que estudia los objetos lineales (puntos, rectas, planos, etc.) y cómo se intersectan.
Esta parte de dos principios:
ü Dos puntos definen una recta.
ü Todo par de retas se cortan en un punto (cuando son dos rectas paralelas, se dice que se cortan en un punto del infinito, un punto llamado impropio).

Realizando un recorrido histórico sabemos que la geometría tuvo sus ideas en los matemáticos griegos, pero los orígenes de la Geometría Proyectiva se da en las pinturas del Renacimiento.
Fueron los pintores renacentistas los que le dan fundamento a esta rama. Estos pintores eran arquitectos, ingenieros y os mejores matemáticos del siglo XV; como Leonardo Da Vinci, Rafael Sanzio, Alberto Durero, entre otros.
Ellos lograron plasmar en lienzos planos los objetos y las figuras tridimensionales.
La esencia de la representación tridimensional se basaba en el principio de proyección y sección. Lo que se ve de la escena depende de la posición del observador.
Imaginaron que a tela era una pantalla de cristal interpuesta entre la escena y el ojo. Para ello dedujeron Teoremas que forman parte de la Geometría Euclidea.


En el siglo XVII, se rescatan los conocimientos griegos y su aplicación de la mano de Gerard Desargues (1591-1661) quien en 1639 realizo la publicación de “Brouillon Projet” que tenía conceptos e ideas que hoy forman parte de la Geometría Proyectiva.
Los trabajos de Desargues no fueron apreciados hasta que un alumno sr, Bosse público en 1648 “El método universal de Desargues para la práctica de la perspectiva”. En dicho libro, en su apéndice escribió alunas conclusiones y el Teorema que lleva su nombre.
Este se conoce como el Teorema de Deargues y dice:
“Si dos triángulos están en perspectiva desde un punto, y sus pares de lados correspondientes se cortan, entonces los tres puntos de intersección están alineados”







Destacamos que durante los siglos XVII y XVIII la geometría proyectiva fue dejada de lado, y eso se debió a que la geometría analítica demostró ser más útil en otras ramas de las ciencias.

Pero resurge en el siglo XIX de la mano del francés Gaspard Monje (1743-1818) quien invento la Geometría Descriptiva. Este de rodeo de brillantes alumnos en la Ëcole de Polytechnique, como Carnot, Poncelet, Servois, entre otros.
Su meta fue intentar evidenciar que los métodos puramente geométricos podían lograr igual o más que los meramente algebraicos o analíticos.
Concluyendo, la Geometría Proyectiva es retomada de la Mano de Jean Víctor Poncelet (1788-1867), quien dada su estadía en una cárcel rusa reconstruyo todo lo aprendido de Carnot y Monge.
Su gran aporte fue “El Principio de Dualidad”, que consiste en que a partir de cualquier Teorema o construcción de Geometría Proyectiva podemos obtener otro, llamado Teorema Dual.
Para que sea más claro veamos lo siguiente:
I. En Geometría Proyectiva como en la Geometría Euclideana: “dos puntos cualesquiera determinan una recta”
II. Pero es verdad que en la geometría Proyectiva “dos rectas cualesquiera determinan un punto”

Geometría No Euclidiana

Geometría Diferencial

La geometría diferencial

Este es un buen momento para retomar la idea de la geometría diferencial (término usado así por primera vez por Luigi Bianchi, 1856 - 1928, en 1894), pues se trata de un marco teórico más general en el cual se integran las geometrías no euclidianas y más que eso: todas las geometrías. La geometría ya no trata de puntos o rectas del espacio, sino de lo que se llama variedades. El punto de partida puede decirse que era el trabajo realizado por Gauss en la construcción de mapas y la llamada geodesia, que apoyaría un nuevo enfoque sobre la naturaleza del espacio. Es decir:

"El problema de construir mapas planos de la superficie de la tierra fue uno de los que dio origen a la geometría diferencial, que se puede describir a grandes rasgos como la investigación de las propiedades de curvas y superficies en el entorno de un punto.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 365]

La geometría diferencial trata de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro, y son sujetas a variaciones (de punto en punto) donde tiene sentido la utilización de las técnicas del Cálculo. Gauss, en su Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas (Investigaciones generales sobre superficies curvas) ofreció la nueva idea que usaría Riemann: una superficie se podía ver como un espacio en sí mismo.

Puede resultar interesante hacer aquí una digresión casi filosófica sobre la naturaleza de la geometría. Para Riemann, al igual que para Gauss, la geometría debía asociarse con la mecánica; por eso, buscó demostrar que los axiomas específicos de Euclides eran empíricos y no autoevidentes y necesarios en sí mismos sin tomar en cuenta la acción de la experiencia. Su estrategia fue buscar qué era lo realmente a priori en la geometría del espacio y estudiar sus consecuencias. Las otras propiedades del espacio no eran a priori. Con ello podría concluir que serían de naturaleza empírica. Es decir, buscar lo realmente necesario y autoevidente y, luego, hacer ver que lo que quedaba fuera tenía que ser empírico.






En su investigación, Riemann concluyó que, para estudiar el espacio, debía hacerse localmente y no como un todo: el espacio se debía analizar por pedazos. Eso implicaba, por ejemplo, que no se podía ofrecer resultados aplicables para todo el espacio. ¿ Cómo resumir la geometría diferencial? El estudio de las propiedades de las curvas y superficies en el espacio en una variedad diferencial, que es uno de esos pedazos a estudio. Las variedades eran el concepto más general y éstas poseían un conjunto de propiedades aplicables a cualquier variedad. Este conjunto era el de las propiedades necesarias y autoevidentes que Riemann quería encontrar. Se trataba de una geometría con n dimensiones, y donde había ciertas reglas. El espacio "normal'' tenía 3. Riemann consideró la distancia entre 2 puntos infinitamente próximos: en un espacio euclidiano, la métrica viene dada por la expresión





Si la métrica es diferente, el espacio es otro. Por ejemplo, si la métrica es:





se tiene lo que se llama un "espacio de Riemann''. Se puede establecer el espacio euclidiano (localmente, porque en Riemann todo es por pedazos), como un caso particular de un espacio deRiemann.

La teoría de geometrías de más de 3 dimensiones había sido desarrollada por el matemático alemán Hermann Grassmann en una obra de 1844: Ausdehnungslehre. Sus trabajos abrieron el camino al análisis vectorial para espacios afines y métricos. También Cayley había usado el concepto de espacio de n dimensiones, y Plücker también hizo contribuciones. Tomaría más tiempo, sin embargo, para que se le diera plena importancia a este tipo de espacios en la comunidad de matemáticos.

Para Riemann el espacio físico era un caso específico de una variedad diferencial. Por lo tanto, la geometría del espacio no podría ser deducida del conjunto de propiedades generales de las variedades. ¿Cómo obtener entonces las propiedades que distinguen el espacio físico de otras variedades de tres dimensiones? Respuesta: por medio de la experiencia. Es la experiencia la que debe decidir si las propiedades específicas que sintetiza la geometría euclidiana corresponden a la realidad o no. Las implicaciones filosóficas y científicas son aquí muchas. Por ejemplo, los axiomas de la geometría euclidiana podrían corresponder o no con el mundo circundante. Pero, ¿quién lo debe determinar? No la geometría, sino la física.

¿Más consecuencias? Sin duda. Aquí se introducía una visión del espacio radicalmente diferente de la que incluso hoy en día nos resulta normal. Vamos a usar un listado de propiedades del espacio físico dadas por el matemático inglés William K. Clifford para contribuir a entender aun más lo que suponía esta aproximación en la geometría:

"Riemann ha demostrado que existen diferentes clases de líneas y superficies, de la misma manera que existen diferentes clases de espacios de tres dimensiones y que sólo podemos averiguar por la experiencia a cuál de estas clases pertenece el espacio en que vivimos. En particular, los axiomas de la geometría plana son ciertos dentro de los límites de experimentación en la superficie de una hoja de papel y, sin embargo, sabemos que la hoja está realmente cubierta de un cierto número de lomas y surcos, sobre los que (al no ser cero la curvatura total) estos axiomas no son ciertos. De manera análoga, dice que aunque los axiomas de la geometría del sólido son ciertos dentro de los límites de experimentación para porciones finitas de nuestro espacio, todavía no tenemos motivo para concluir que son ciertos para porciones muy pequeñas; y si por ello puede obtenerse alguna explicación de los fenómenos físicos, tendremos razones para concluir que ellos no son ciertos para regiones muy pequeñas del espacio.

Deseo indicar aquí un método por el cual estas especulaciones pueden aplicarse a la investigación de los fenómenos físicos. Mantengo, en efecto:

(1) Que, de hecho, las porciones pequeñas del espacio son de naturaleza análoga a las pequeñas colinas de una superficie que en promedio es plana; es decir, que las leyes ordinarias de la geometría no son válidas en ellas.

(2) Que esta propiedad de curvatura o torsión está pasando continuamente de una porción a otra del espacio en forma de onda.

(3) Que esta variación de la curvatura del espacio es lo que realmente sucede en los fenómenos que llamamos movimiento de materia, ya sean ponderables o etéreos.

(4) Que en el mundo físico no sucede otra cosa que esta variación, sujeta (posiblemente) a la ley de continuidad. Estoy intentando un método general para explicar las leyes de doble refracción a partir de estas hipótesis, pero no he llegado a ningún resultado suficientemente decisivo para comunicarlo. [Clifford, William Kingdon: "Teoría de la materia en el espacio'', p. 159]

En este espacio la curvatura varía de lugar en lugar y, además, debido al movimiento de la materia, la curvatura cambia también de tiempo en tiempo.

¿Conclusión? Hay variación debida al espacio y al tiempo. Entonces: es imposible que las leyes de la geometría euclidiana se puedan aplicar en un espacio de este tipo. Una asociación entre espacio y materia, como ésta que se encuentra en las conclusiones de Clifford y Riemann, empujó en la dirección de la teoría de la relatividad

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Probabilidad y estadística from Alejandra Agreman

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