Geometría Diferencial

La geometría diferencial

Este es un buen momento para retomar la idea de la geometría diferencial (término usado así por primera vez por Luigi Bianchi, 1856 - 1928, en 1894), pues se trata de un marco teórico más general en el cual se integran las geometrías no euclidianas y más que eso: todas las geometrías. La geometría ya no trata de puntos o rectas del espacio, sino de lo que se llama variedades. El punto de partida puede decirse que era el trabajo realizado por Gauss en la construcción de mapas y la llamada geodesia, que apoyaría un nuevo enfoque sobre la naturaleza del espacio. Es decir:

"El problema de construir mapas planos de la superficie de la tierra fue uno de los que dio origen a la geometría diferencial, que se puede describir a grandes rasgos como la investigación de las propiedades de curvas y superficies en el entorno de un punto.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 365]

La geometría diferencial trata de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro, y son sujetas a variaciones (de punto en punto) donde tiene sentido la utilización de las técnicas del Cálculo. Gauss, en su Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas (Investigaciones generales sobre superficies curvas) ofreció la nueva idea que usaría Riemann: una superficie se podía ver como un espacio en sí mismo.

Puede resultar interesante hacer aquí una digresión casi filosófica sobre la naturaleza de la geometría. Para Riemann, al igual que para Gauss, la geometría debía asociarse con la mecánica; por eso, buscó demostrar que los axiomas específicos de Euclides eran empíricos y no autoevidentes y necesarios en sí mismos sin tomar en cuenta la acción de la experiencia. Su estrategia fue buscar qué era lo realmente a priori en la geometría del espacio y estudiar sus consecuencias. Las otras propiedades del espacio no eran a priori. Con ello podría concluir que serían de naturaleza empírica. Es decir, buscar lo realmente necesario y autoevidente y, luego, hacer ver que lo que quedaba fuera tenía que ser empírico.






En su investigación, Riemann concluyó que, para estudiar el espacio, debía hacerse localmente y no como un todo: el espacio se debía analizar por pedazos. Eso implicaba, por ejemplo, que no se podía ofrecer resultados aplicables para todo el espacio. ¿ Cómo resumir la geometría diferencial? El estudio de las propiedades de las curvas y superficies en el espacio en una variedad diferencial, que es uno de esos pedazos a estudio. Las variedades eran el concepto más general y éstas poseían un conjunto de propiedades aplicables a cualquier variedad. Este conjunto era el de las propiedades necesarias y autoevidentes que Riemann quería encontrar. Se trataba de una geometría con n dimensiones, y donde había ciertas reglas. El espacio "normal'' tenía 3. Riemann consideró la distancia entre 2 puntos infinitamente próximos: en un espacio euclidiano, la métrica viene dada por la expresión





Si la métrica es diferente, el espacio es otro. Por ejemplo, si la métrica es:





se tiene lo que se llama un "espacio de Riemann''. Se puede establecer el espacio euclidiano (localmente, porque en Riemann todo es por pedazos), como un caso particular de un espacio deRiemann.

La teoría de geometrías de más de 3 dimensiones había sido desarrollada por el matemático alemán Hermann Grassmann en una obra de 1844: Ausdehnungslehre. Sus trabajos abrieron el camino al análisis vectorial para espacios afines y métricos. También Cayley había usado el concepto de espacio de n dimensiones, y Plücker también hizo contribuciones. Tomaría más tiempo, sin embargo, para que se le diera plena importancia a este tipo de espacios en la comunidad de matemáticos.

Para Riemann el espacio físico era un caso específico de una variedad diferencial. Por lo tanto, la geometría del espacio no podría ser deducida del conjunto de propiedades generales de las variedades. ¿Cómo obtener entonces las propiedades que distinguen el espacio físico de otras variedades de tres dimensiones? Respuesta: por medio de la experiencia. Es la experiencia la que debe decidir si las propiedades específicas que sintetiza la geometría euclidiana corresponden a la realidad o no. Las implicaciones filosóficas y científicas son aquí muchas. Por ejemplo, los axiomas de la geometría euclidiana podrían corresponder o no con el mundo circundante. Pero, ¿quién lo debe determinar? No la geometría, sino la física.

¿Más consecuencias? Sin duda. Aquí se introducía una visión del espacio radicalmente diferente de la que incluso hoy en día nos resulta normal. Vamos a usar un listado de propiedades del espacio físico dadas por el matemático inglés William K. Clifford para contribuir a entender aun más lo que suponía esta aproximación en la geometría:

"Riemann ha demostrado que existen diferentes clases de líneas y superficies, de la misma manera que existen diferentes clases de espacios de tres dimensiones y que sólo podemos averiguar por la experiencia a cuál de estas clases pertenece el espacio en que vivimos. En particular, los axiomas de la geometría plana son ciertos dentro de los límites de experimentación en la superficie de una hoja de papel y, sin embargo, sabemos que la hoja está realmente cubierta de un cierto número de lomas y surcos, sobre los que (al no ser cero la curvatura total) estos axiomas no son ciertos. De manera análoga, dice que aunque los axiomas de la geometría del sólido son ciertos dentro de los límites de experimentación para porciones finitas de nuestro espacio, todavía no tenemos motivo para concluir que son ciertos para porciones muy pequeñas; y si por ello puede obtenerse alguna explicación de los fenómenos físicos, tendremos razones para concluir que ellos no son ciertos para regiones muy pequeñas del espacio.

Deseo indicar aquí un método por el cual estas especulaciones pueden aplicarse a la investigación de los fenómenos físicos. Mantengo, en efecto:

(1) Que, de hecho, las porciones pequeñas del espacio son de naturaleza análoga a las pequeñas colinas de una superficie que en promedio es plana; es decir, que las leyes ordinarias de la geometría no son válidas en ellas.

(2) Que esta propiedad de curvatura o torsión está pasando continuamente de una porción a otra del espacio en forma de onda.

(3) Que esta variación de la curvatura del espacio es lo que realmente sucede en los fenómenos que llamamos movimiento de materia, ya sean ponderables o etéreos.

(4) Que en el mundo físico no sucede otra cosa que esta variación, sujeta (posiblemente) a la ley de continuidad. Estoy intentando un método general para explicar las leyes de doble refracción a partir de estas hipótesis, pero no he llegado a ningún resultado suficientemente decisivo para comunicarlo. [Clifford, William Kingdon: "Teoría de la materia en el espacio'', p. 159]

En este espacio la curvatura varía de lugar en lugar y, además, debido al movimiento de la materia, la curvatura cambia también de tiempo en tiempo.

¿Conclusión? Hay variación debida al espacio y al tiempo. Entonces: es imposible que las leyes de la geometría euclidiana se puedan aplicar en un espacio de este tipo. Una asociación entre espacio y materia, como ésta que se encuentra en las conclusiones de Clifford y Riemann, empujó en la dirección de la teoría de la relatividad