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Orígenes e historia de la topología from PTA MEN Colombia

Análisis Complejo

Rigor del Análisis

RIGOR DEL ANÁLISIS

Muchos historiadores de la matemática afirman que el rigor en matemáticas nació con Augustin-Louis Cauchy. Todo un revolucionario, Cauchy trató de establecer una base rigurosa para el análisis matemático. Un buen ejemplo fue su demostración del teorema del valor intermedio, que afirma que toda función real f(x) continua en un intervalo [a,b] asume cada valor posible entre f(a) y f(b) en ese intervalo. Parece obvio gracias a la idea intuitiva de continuidad y de hecho hasta Cauchy nadie pensó que fuera necesario demostrarlo, pero hoy en día todos los estudiantes de matemáticas se pelean con su demostración rigurosa (aunque sin saberlo, como homenaje en memoria de Cauchy). Por cierto, Cauchy enseñó la demostración de este teorema por primera vez en el curso que impartió en la École Royale Polytechnique en 1816. Su libro de texto de 1821, admirado por más de una generación de matemáticos, presenta dos demostraciones diferentes; la más famosa, la que todos los estudiantes de matemáticas aprenden, fue relegada a un apéndice. Nos lo recuerda Michael J. Barany, “Stuck in the Middle: Cauchy’s Intermediate Value Theorem and the History of Analytic Rigor,” Notices of the AMS 60: 1334-1338, Nov. 2013.

Cauchy fue un profesor impopular tanto entre los estudiantes como entre sus compañeros de facultad. Sus clases eran muy densas y difíciles de seguir, muchas veces prolongaba la clase más allá de su horario oficial y además realizaba continuas revisiones del temario. Para Cauchy las matemáticas del siglo XVIII eran una disciplina que había perdido el norte. Todo un siglo de innovaciones matemáticas maravillosas que habían sido logradas a costa del rigor. Matemáticos como Euler manejaban series que no eran convergentes y expresiones formales sin sentido que producían conclusiones absurdas. No estaban claros conceptos tan básicos como el de infinito, el de límite, los números imaginarios y muchos más. Cauchy admiraba la formulación axiomática de la geometría realizada por Euclides. El álgebra presentaba un estado similar, pero era considerada por los matemáticos del siglo XVIII como una herramienta, versátil, pero de poca utilidad a la hora de resolver problemas prácticos. Por el contrario, el análisis era muy útil en todo tipo de problemas prácticos, pero carecía de un formulación rigurosa. Cauchy quería que el status de la geometría y del álgebra fuera extendido al análisis. Por ello decidió revisar todo el análisis desde el punto de vista de la geometría y apoyado por el álgebra como herramienta.

Por supuesto, el “Curso de Análisis” de Cauchy, como suele ocurrir con todo trabajo pionero, carece de rigor en muchos aspectos. Por ejemplo, Cauchy asume que todas las funciones continuas son diferenciables. Sin embargo, lo importante del proyecto de reforma del análisis iniciado por Cauchy, que trata de llevar el rigor al análisis de la mano de la geometría y del álgebra, es que inició un camino hacia el rigor cuya culminación fue el motor de gran parte de la matemática de todo el siglo XIX, con la honrosa excepción del genial Henri Poincaré que vio en el rigor un corsé del que había que deshacerse.

El cénit del rigor en las matemáticas llegó en el siglo XX con Nicolas Bourbaki, el nombre colectivo de un grupo de matemáticos franceses que, en los años 1930, se pusieron a revisar todos los fundamentos de las matemáticas con una exigencia absoluta en el rigor tratando de combatir la corriente que había nacido con Poincaré. Matemáticos como Jean Dieudonné, André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, y otros antiguos alumnos de la Escuela Normal Superior de París recogieron el guante de Cauchy e impusieron a toda la matemática el concepto de rigor matemático como definición de la labor del matemático.

Ecuaciones en Derivadas Parciales

2) ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES from edvinogo

Integración Doble

Integración Múltiple

INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de lasuma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.




Las integrales se pueden calcular sobre regiones diferentes de los intervalos. En general, una integral sobre un conjunto E de una función f se escribe:

Aquí x no hace falta que sea necesariamente un número real, sino que puede ser cualquier otra cantidad apropiada, por ejemplo, unvector de R3. El teorema de Fubini demuestra que estas integrales pueden reescribirse como una integral iterada. En otras palabras, la integral se puede calcular a base de integrar las coordenadas una por una.

De la misma manera que la integral definida de una función positiva representa el área de la región encerrada entre la gráfica de la función y el eje x, la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región comprendida entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio. (El mismo volumen puede obtenerse a través de una integral triple— la integral de la función de tres variables — de la función constante f(x, y, z) = 1 sobre la región mencionada antes entre la superficie y el plano, lo mismo se puede hacer con una integral doble para calcular una superficie.) Si el número de variables es mayor, entonces la integral representa un hipervolumen, el volumen de un sólido de más de tres dimensiones que no se puede representar gráficamente.

Matemática en el Renacimiento from Alejandra Agreman